Учебник по промышленной статистике


Многомерное шкалирование - часть 4


Вообще говоря, чем больше размерность пространства, используемого для воспроизведения расстояний, тем лучше согласие воспроизведенной матрицы с исходной (меньше значение стресса). Если взять размерность пространства равной числу переменных, то возможно абсолютно точное воспроизведение исходной матрицы расстояний. Однако нашей целью является упрощение решаемой задачи, с тем, чтобы объяснить матрицу сходства (расстояний) в терминах лишь нескольких важнейших факторов (латентных переменных или вспомогательных шкал). Возвращаясь к нашему примеру с расстояниями между городами, если получена двумерная карта, намного проще представить себе расположение городов и планировать передвижение между ними, чем если бы имелась только матрица попарных расстояний.

Причины плохого качества отображения.
Причины плохого качества отображения.

Обсудим, почему уменьшение числа факторов (или вспомогательных шкал) может приводить к ухудшению представления исходной матрицы. Обозначим буквами A, B, C и D, E, F две тройки городов. Соответствующие им точки и попарные расстояния между ними показаны в двух табличках (матрицах).

A B C D E F A
B
C D
E
F
0
90
90

0
90
 
 
90
0
90
180
 
0
90
 
 
0


Первой матрице соответствует случай когда города удалены друг от друга в точности на 90 километров, а второй - когда города D и F удаляются на 180 километров. Можно ли три точки, соответствующие городам (объектам) расположить в одномерном пространстве (на прямой)? Действительно, три точки, соответствующие городам D, E и F могут быть расположены на прямой линии:

D---90 км---E---90 км---F

D удален на 90 км от города E, и E - на 90 км от F, а город D удален на 90+90=180 км от F. Если попытаться проделать тоже самое с городами A, B и C, то видно, что соответствующие им точки уже нельзя разместить на прямой с сохранением исходной структуры расстояний. Однако эти точки можно расположить на плоскости, например, в виде треугольника:

A
90 км 90 км
B 90 км C

Располагая эти три точки так, можно в точности воспроизвести все расстояния между ними.


Начало  Назад  Вперед



Книжный магазин